12/334715/PA/14947
12/334733/PA/14965 12/334752/PA/14983 12/334833/PA/15031 12/334847/PA/15041 12/334862/PA/15047 12/334926/PA/15063 |
Galih Prabasidi
Widar Dwi Gustian Ryon Natalius Khalaqas Hakiim Kristiawan Devianto Redo Febri Yanto Ikhsan Nur Rahman |
JURUSAN ILMU KOMPUTER
DAN ELEKTRONIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN
ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Program
Dinamis (dynamic programming) merupakan
metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan
langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi
dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.
Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini:
1.
Terdapat
sejumlah berhingga pilihan yang mungkin
2.
Solusi
pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya
3.
Menggunakan
persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus
dipertimbangkan pada suatu tahap.
Misalkan kita ingin menemukan lintasan terpendek dari
1 ke 10.
A. Prinsip Optimalitas
Pada program dinamis, rangkaian keputusan yang optimal
dibuat dengan menggunakan Prinsip Optimalitas. Prinsip Optimalitas dapat dilihat
dari permasalahan ini “jika solusi total optimal, maka
bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal. Prinsip ini
berart jika kita bekerja dari tahap k ke tahap k + 1, kita dapat
menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa harus kembali ke tahap
awal.
Ongkos pada tahap k +1 = (ongkos yang
dihasilkan pada tahap k ) +
ongkos dari tahap k ke tahap k + 1)
Dengan prinsip ini dijamin bahwa pengambilan keputusan
pada suatu tahap adalah keputusan yang benar untuk tahap-tahap selanjutnya.
Pada metode greedy hanya satu rangkaian
keputusan yang pernah dihasilkan, sedangkan pada metode program dinamis lebih
dari satu rangkaian keputusan. Hanya rangkaian keputusan yang memenuhi prinsip
optimalitas yang akan dihasilkan.
B. Karakteristik
Persoalan Program Dinamis
Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage),
yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan. Masing-masing
tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap
tersebut. Secara umum, status
merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.
Untuk
mengetahui lebih dalam tentang karakteristik pada persoalan program dinamis
dapat dilihat didalam persoalan berikut :
a) Graf
multitahap (multistage graph). Keterangan mengenai graf ini yaitu : Tiap
simpul ( 1-12 )
di dalam graf tersebut menyatakan status, sedangkan V1, V2,
… menyatakan tahap.
Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap
ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap
berikutnya. Ongkos
(cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily)
dengan bertambahnya jumlah tahapan. Selain itu ongkos pada suatu tahap bergantung
pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.
Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan
yang dilakukan pada tahap sebelumnya. Adanya hubungan rekursif yang
mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k
memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1. Hal ini membuktikan bahwa prinsip optimalitas berlaku di
dalam graph tersebut.
Dua pendekatan Program Dinamis
Dua pendekatan yang digunakan dalam Program Dinamis
antara lain maju (forward atau up-down) dan mundur (backward
atau bottom-up).
Misalkan x1, x2,
…, xn menyatakan peubah (variable) keputusan yang
harus dibuat masing-masing untuk tahap 1, 2, …, n. Maka,
Program
dinamis maju. Program
dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya
sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah x1, x2,
…, xn.
Program
dinamis mundur. Program dinamis bergerak mulai dari tahap n,
terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap
1. Runtunan peubah keputusan adalah xn, xn-1,
…, x1.
Langkah-langkah Pengembangan Algoritma Program Dinamis
1. Karakteristikkan struktur solusi optimal.
2. Definisikan secara rekursif nilai solusi optimal.
3. Hitung nilai solusi optimal secara maju atau mundur.
4. Konstruksi solusi optimal.
b) Lintasan
Terpendek (Shortest Path)
Pada
Persoalan kedua ini kita akan mencari lintasan terpendek dari
simpul 1 ke simpul 10:
Penyelesaian dengan Program Dinamis Mundur
Dimisalkan x1, x2,
…, x4 adalah simpul-simpul yang dikunjungi pada tahap k (k
= 1, 2, 3, 4).
Maka rute yang dilalui adalah 1®x1®x2®x3®x4 , yang dalam hal ini x4 = 10.
Pada persoalan ini dapat dilihat bahwa :
·
Tahap (k) adalah proses memilih simpul tujuan
berikutnya (ada 4 tahap).
·
Status (s) yang berhubungan dengan
masing-masing tahap adalah simpul-simpul di dalam graf.
Relasi rekurens berikut menyatakan lintasan terpendek dari status s ke x4
pada tahap k:
Tujuan program dinamis mundur: mendapatkan f1(1) dengan cara mencari f4(s), f3(s), f2(s) terlebih dahulu.
s
|
Solusi
Optimum
|
|
f4(s)
|
x4*
|
|
8
|
3
|
10
|
9
|
4
|
10
|
Catatan: xk* adalah nilai xk yang meminimumkan fk(s, xk).
Tahap 3
x3
s
|
f3(s, x3)
= cs,x3 + f4(x3)
|
Solusi
Optimum
|
||
8
|
9
|
f3(s)
|
x3*
|
|
5
|
4
|
8
|
4
|
8
|
6
|
9
|
7
|
7
|
9
|
7
|
6
|
7
|
6
|
8
|
Tahap 2:
x2
s
|
f2(s, x2)
= cs,x2 + f3(x2)
|
Solusi
Optimum
|
|||
5
|
6
|
7
|
f2(s)
|
x2*
|
|
2
|
11
|
11
|
12
|
11
|
5 atau
6
|
3
|
7
|
9
|
10
|
7
|
5
|
4
|
8
|
8
|
11
|
8
|
5 atau
6
|
Tahap 1:
x1
s
|
f1(s, x1)
= cs,x1 + f2(x1)
|
Solusi
Optimum
|
|||
2
|
3
|
4
|
f1(s)
|
x1*
|
|
1
|
13
|
11
|
11
|
11
|
3 atau
4
|
Solusi optimum dapat dibaca pada tabel di bawah ini:
Jadi ada tiga lintasan terpendek dari 1 ke 10, yaitu
1 ® 3 ® 5 ® 8 ® 10
1 ® 4 ® 5 ® 8 ® 10
1 ® 4 ® 6 ® 9 ® 10
Panjang ketiga lintasan tersebut sama, yaitu 11.
C).Penganggaran Modal (Capital
Budgeting)
Pada Persoalan ke-3 ini dibahas mengenai penggunaan dinamic programming
didalam penggaran modal, berikut adalah permasalahannya.
Sebuah perusahaan berencana akan mengembangkan usaha
(proyek) melalui ketiga buah pabrik (plant) yang dimilikinya. Setiap
pabrik diminta mengirimkan proposal (boleh lebih dari satu) ke perusahaan untuk
proyek yang akan dikembangkan. Setiap proposal memuat total biaya yang
dibutuhkan (c) dan total keuntungan (revenue) yang akan diperoleh
(R) dari pengembangan usaha itu. Perusahaan menganggarkan Rp 5 milyar
untuk alokasi dana bagi ketiga pabriknya itu.
Tabel berikut meringkaskan nilai c dan R
untuk masing-masing proposal proyek. Proposal proyek bernilai-nol sengaja
dicantumkan yang berarti tidak ada alokasi dana yang diberikan ntuk setiap
pabrik. Tujuan Perusahaan adalah memperoleh keuntungan yang maksimum dari
pengalokasian dana sebesar Rp 5 milyar tersebut. Selesaikan persoalan ini
dengan program dinamis.
Proyek
|
Pabrik
1
|
Pabrik
2
|
Pabrik
3
|
|||
c1
|
R1
|
c2
|
R2
|
c3
|
R3
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
1
|
5
|
2
|
8
|
1
|
3
|
3
|
2
|
6
|
3
|
9
|
-
|
-
|
4
|
-
|
-
|
4
|
12
|
-
|
-
|
Relasi rekurens keuntungan optimal:
Catatan:
·
xk –
1 = xk – ck(pk) , c(pk) adalah biaya untuk
alternatif pk pada tahap k.
·
Proposal pk
dikatakan layak (feasible) jika
biayanya, c(pk), tidak melebihi nilai status xk pada tahap k.
Relasi rekurens keuntungan
optimal menjadi
Tahap 1
x1
|
R1(p1)
|
Solusi
Optimal
|
|||
p1 = 1
|
p1 = 2
|
p1 = 3
|
f1(x1)
|
p1*
|
|
0
|
0
|
-
|
-
|
0
|
1
|
1
|
0
|
5
|
-
|
5
|
2
|
2
|
0
|
5
|
6
|
6
|
3
|
3
|
0
|
5
|
6
|
6
|
3
|
4
|
0
|
5
|
6
|
6
|
3
|
5
|
0
|
5
|
6
|
6
|
3
|
Tahap 2
x2
|
R2(p2) + f1[(x2
– c2(p2)]
|
Solusi
Optimal
|
||||
p2 = 1
|
p2 = 2
|
p2 = 3
|
p2 = 4
|
f2(x2)
|
p2*
|
|
0
|
0 + 0
= 0
|
-
|
-
|
-
|
0
|
1
|
1
|
0 + 5
= 5
|
-
|
-
|
-
|
5
|
1
|
2
|
0 + 6
= 6
|
8 + 0
= 8
|
-
|
-
|
8
|
2
|
3
|
0 + 6
= 6
|
8 + 5
= 13
|
9 + 0
= 9
|
-
|
13
|
2
|
4
|
0 + 6
= 6
|
8 + 6
= 14
|
9 + 5
= 14
|
12 + 0
= 12
|
14
|
2 atau
3
|
5
|
0 + 6
= 6
|
8 + 6
= 14
|
9 + 6
= 15
|
12 + 5
= 17
|
17
|
4
|
Tahap 3
x3
|
R3(p3) + f2[(x3
– c3(p3)]
|
Solusi
Optimal
|
||
p3 = 1
|
p3 = 2
|
f3(x3)
|
p3*
|
|
5
|
0 + 17
= 17
|
3 + 14
= 17
|
17
|
1 atau
2
|
Rekonstruksi solusi:
Relasi rekurens
untuk persoalan ini adalah
f0(y) = 0, y = 0, 1, 2, …, M (basis)
fk(y) = -¥, y
< 0 (basis)
fk(y) = max{fk-1(y), pk
+ fk-1(y – wk)}, (rekurens)
k = 1, 2, …, n
Contoh
n
= 3
M
= 5
Barang
ke-i
|
wi
|
pi
|
1
|
2
|
65
|
2
|
3
|
80
|
3
|
1
|
30
|
Tahap 1
f1(y) = max{f0(y), p1
+ f0(y – w1)}
= max{f0(y), 65 + f0(y – 2)}
y
|
Solusi
Optimum
|
|||
f0(y)
|
65 + f0(y – 2)
|
f1(y)
|
(x1*, x2*, x3*)
|
|
0
|
0
|
-¥
|
0
|
(0, 0,
0)
|
1
|
0
|
-¥
|
0
|
(0, 0,
0)
|
2
|
0
|
65
|
65
|
(1, 0,
0)
|
3
|
0
|
65
|
65
|
(1, 0,
0)
|
4
|
0
|
65
|
65
|
(1, 0,
0)
|
5
|
0
|
65
|
65
|
(1, 0,
0)
|
Tahap 2
f2(y) = max{f1(y), p2 + f1(y – w2)}
=
max{f1(y), 80 + f1(y – 3)}
y
|
Solusi
Optimum
|
|||
f1(y)
|
80 + f1(y – 3)
|
f2(y)
|
(x1*, x2*, x3*)
|
|
0
|
0
|
80 + (-¥) = -¥
|
0
|
(0, 0,
0)
|
1
|
0
|
80 + (-¥) = -¥
|
0
|
(0, 0,
0)
|
2
|
65
|
80 + (-¥) = -¥
|
65
|
(1, 0,
0)
|
3
|
65
|
80 + 0 = 80
|
80
|
(0, 1,
0)
|
4
|
65
|
80 + 0 = 80
|
80
|
(0, 1,
0)
|
5
|
65
|
80 + 65 = 145
|
145
|
(1, 1,
0)
|
Tahap 3
f3(y) = max{f2(y), p3 + f2(y – w3)}
=
max{f2(y), 30 + f2(y – 1)}
y
|
Solusi
Optimum
|
|||
f2(y)
|
30 + f2(y – 1)
|
f3(y)
|
(x1*, x2*, x3*)
|
|
0
|
0
|
30 + (-¥) = -¥
|
0
|
(0, 0,
0)
|
1
|
0
|
30 + (-¥) = -¥
|
0
|
(0, 0,
0)
|
2
|
65
|
30 + 0 = 30
|
65
|
(1, 0,
0)
|
3
|
80
|
30 + 65 = 95
|
95
|
(1, 0,
1)
|
4
|
80
|
30 + 80 = 110
|
110
|
(0, 1,
1)
|
5
|
145
|
30 + 80 = 110
|
145
|
(1, 1,
0)
|
Solusi optimum X = (1, 1, 0)
dengan åp = f
= 145.
Sumber :
No comments:
Post a Comment