Masalah Transportasi

MASALAH TRANSPORTASI

Pendahuluan

Masalah Transportasi merupakan masalah pengaturan distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat yang membutuhkan  secara optimal.
Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan yang berbeda-beda, dan dari beberapa sumber yang berbeda ke suatu tempat tujuan juga berbeda-beda.

Metoda transportasi juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah bisnis lainnya, seperti masalah-masalah yang meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi dana untuk inestasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan serta scheduling produksi.

Ada beberapa metoda transportasi, yang semuanya terarah pada penyelesaian optimal dari masalah-masalah transportasi yang terjadi. Namun kali ini saya akan membahas satu metoda saja yaitu metode stepping-stone-MODI berikut penjelasan lebih lanjut mengenai metode tersebut.

Metoda Stepping-Stone - MODI

Untuk mempermudah penjelasan, berikut akan dipergunakan contoh suatu perusahaan yang mempunyai 3 pabrik  di I, II, III. Perusahaan menghadapi masalah alokasi hasil produksinya dari pabrik-pabrik tersebut ke gudang-gudang penjualan di A, B, C. Kapasitas Pabrik, kebutuhan gudang dan biaya pengakutan dari tiap pabrik ke tiap gudang dapat dilihat dari tabel dibawah ini :

Tabel Kapasitas Produksi Pabrik I, II, III

Pabrik	Kapasitas Produksi tiap bulan (ton)
I	90
II	60
III	50
Jumlah	200

                                Tabel Kebutuhan Gudang A, B, C

Gudang	Kebutuhan tiap bulan (ton)
A	50
B	110
C	40
Jumlah	200

                Tabel Biaya pengangkutan setiap ton dari pabrik I, II, III ke gudang A, B, C.

Dari	Biaya tiap ton (dalam puluhan ribu)
	Ke Gudang A	Ke Gudang B	Ke Gudang C
Pabrik I	20	5	8
Pabrik II	15	20	10
Pabrik III	25	10	19

1)       Penyusunan Tabel Alokasi

Untuk bisa memahami dengan lebih mudah dalam memecahkan masalah, maka data diatas harus disusun ke dalam suatu tabel yang menunjukkan hubungan anatara kapasitas pabrik, kebutuhan gudang dan biaya pengangkutan seperti terlihat pada tabel dibawah  (Iterasi 0) :

Tabel : 0

	j	1		2		3
i	Ke	Gudang A		Gudang  B		Gudang C		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I	X11	20	X12	5	X13	8	90
2	Pabrik II	X21	15	X22	20	X23	10	60
3	Pabrik III	X31	25	X32	10	X33	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

Pada tabel di atas jumlah kebutuhan tiap-tiap gudang diletakkan pada baris terakhir dan kapasitas tiap pabrik pada kolom terakhir. Sedang biaya pengangkutan diletakkan pada segi empat kecil pada tabel. Adapun X_ij adalah alokasi dari sumber I ke tujuan j, nilai X_ij inilah yang nantinya akan dicari.

2)       Prosedur Alokasi

Setelah data tersusun dalam bentuk tabel, maka langkah selanjutnya adalah  mengalokasikan produk dari pabrik-pabrik ke gudang-gudang.

Pedoman yang merupakan prosedure alokasi sistematis pertama adalah pedoman sudut barat laut (norhwest corner rule). Mulai dari sudut kiri atas tabel dialokasikan sejumlah maksimum produk dengan melihat kapasitas pabrik dan kebutuhan gudang. Kemudian setelah itu, bila Xij merupakan kotak terakhir yang dipilih, bila i  mempunyai kapasitas yang tersisa, dilanjutkan dengan mengalokasikan pada Xi,j+1 (ke kanan). Bila i tidak mempunyai kapasistas yang tersisa, alokasikan   ke Xi+1,j (ke bawah), dan seterusnya sehingga semua kebutuhan telah terpenuhi

 

Dari contoh di atas, alokasi pertama adalah X₁₁=50, yang tepat memenuhi kebutuhan gudang A dalam kolom 1. Dalam hal ini ada kelebihan kapasitas pabrik I  sebesar 40 dalam baris i=1, sehingga alokasi berikutnya X_1,1+1=X₁₂. Bila kapasitas pabrik tidak lebih besar dari kebutuhan gudang B dalam kolom j=2, maka X₁₂ dialokasikan sebesar 40. Karena kapasitas pada baris i=1 tak tersisa (habis) maka alokasi berikutnya pada X_1+1,2=X₂₂. Dari tabel terlihat bahwa kebutuhan gudang B masih lebih besar dari kapasitas pabrik II, sehingga pada X₂₂ dialokasikan 60. Dan seterusnya sampai semua kapasistas yang tersedia telah dialokasikan ke gudang-gudang yang membutuhkan seperti terlihat pada tabel berikut :

  Tabel : 1

	j	1		2		3
i	Ke	Gudang A		Gudang  B		Gudang C		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I	50	20	40	5		8	90
2	Pabrik II		15	60	20		10	60
3	Pabrik III		25	10	10	40	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

Segi empat yang terisi alokasi disebut segi empat batu, dan yang kosong disebut segi empat air.

Biaya pengangkutan alokasi tahap pertama ini : 50 (20) + 40 (5) + 6 (20) + 10 (10) + 10 (19) = 3260

3)       Merubah Alokasi dengan metoda MODI

Untuk mengurangi biaya pengangkutan, alokasi pada tabel : 1 diubah dengan metoda MODI , yaitu memilih segi empat kosong untuk diisi dengan alokasi yang baru yang akan mengurangi biaya pengangkutan.

a)  Menentukan nilai baris dan kolom

Nilai baris dan kolom ditentukan berdasarkan persamaan :

Ri + Kj = Cij

                                                                R_i  = Nilai baris ke i

                                                                K_j  = Nilai kolom ke j

 C_ij  = Biaya pengangkutan 1 satun barang dari sumber i ke tujuan j          

Baris pertama selalu diberi nilai 0, dan nilai baris-baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan hasil hitungan yang telah diperoleh dengan persamaan diatas.

Nilai baris 1  : R₁ = 0

Mencari nilai kolom 1 :

             R₁ + K₁ = C₁₁

0   + K₁ = 20, nilai kolom 1 :  K₁ = 20

Mencari  nilai kolom dan baris yang lain :

             R₁ + K₂ = C₁₂  ;  0   + K₂  = 5    ;  K₂ = 5

             R₂ + K₂ = C₂₂  ;  R₂  + 5   = 20  ;  R₂ = 15

             R₃ + K₂ = C₃₂  ;  R₃  + 5   = 10  ;  R₃ = 5

             R₃ + K₃ = C₃₃  ;  5   + K₃  = 19  ;  K₃ = 14

Nilai-nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti pada tabel berikut : 

	j	1		2		3
i	Ke	Gudang A = 20		Gudang  B = 5		Gudang C = 14		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I   =   0	50	20	40	5		8	90
2	Pabrik II  = 15		15	60	20		10	60
3	Pabrik III =   5		25	10	10	40	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

b) Menghitung indeks perbaikan

Indeks perbaikan adalah nilai dari segi empat kosong (segi empat air). Mencarinya dengan rumus

	Indek perbaikan = Cij - Ri -  Kj

 

             Tabel indek perbaikan 1 :

Segi empat kosong	Cij - Ri  -  Kj	Indek Perbaikan
(1,3)	8   -   0  - 14	-  6
(2,1)	15 – 15  - 20	- 20
(2,3)	10  -  15  - 14	- 19
(3,1)	25 –   5  - 20	0

c) Memilih titik tolak perbaikan

Segi empat yang mempunyai indek perbaikan negatif berarti bila diberi alokasi (diisi) akan dapat mengurangi jumlah biaya pengangkutan. Bila nilainya positif berarti pengisian akan menyebabkan kenaikan biaya pengangkutan.

	Segi empat yang merupakan titik tolak perubahan adalah segi empat yang indeknya bertanda  negatif dan angkanya terbesar (negatif terkecil).

 

Dalam tabel  indek perbaikan 1, ternyata yang memenuhi syarat adalah segi empat (2,1). Oleh karenanya segi empat ini dipilih sebagi segi empat yang akan diisi.

	j	1		2		3
i	Ke	Gudang A = 20		Gudang  B = 5		Gudang C = 14		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I   =   0	50	20	40	5		8	90
2	Pabrik II  = 15		15	60	20		10	60
3	Pabrik III =   5		25	10	10	40	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

d) Memperbaiki Alokasi

Ø  Berilah tanda positif  (+) pada segi empat yang terpilih yaitu segi empat (2,1).

Ø  Pilih satu segi empat terdekat yang isi dan sebaris yaitu segi empat (2,2), satu  segi empat terdekat yang isi dan sekolom yaitu segi empat (1,1) , beri tanda negatifi (-) pada dua segi empat ini.

Ø  Pilih satu segi empat yang sebaris atau sekolom dengan dua segi empat yang bertanda negatif tadi yaitu segi empat (1,2), berilah segi empat ini tanda positif (+)  

Ø  Selanjutnya pindahkan alokasi dari segi empat yang bertanda negatif sebanyak isi terkecil dari segi empat yang bertanda negatif   (50) ke segi empat terpilih .

Jadi     segi empat (2,1) kemudian berisi 50,

segi  empat (2,2) berisi 60 -  50 = 10,

segi empat (1,2)  berisi 40 + 50 = 90,

segi empat (1,1) menjadi tak terisi

	j	1		2		3
i	Ke	Gudang A = 20		Gudang  B = 5		Gudang C = 14		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I   =   0		20	90	5		8	90
2	Pabrik II  = 15	50	15	10	20		10	60
3	Pabrik III =   5		25	10	10	40	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

e) Ulangi langkah- langkah tersebut diatas, mulai langkah ke a) sampai diperoleh biaya terendah. Bila masih ada indeks perbaikan yang bernilai negatif berarti alokasi tersebut masih dapat dirubah untuk mengurangi biaya pengangkutan.

	Bila sudah tidak ada indeks yang negatif berarti sudah optimal.

 

Secara lengkap iterasi dari penyelesaian masalah diatas adalah sebagai berikut :

Tabel 1 (pedoman sudut barat laut)

	j	1		2		3
i	Ke	Gudang A		Gudang  B		Gudang C		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I	50	20	40	5		8	90
2	Pabrik II		15	60	20		10	60
3	Pabrik III		25	10	10	40	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

Biaya pengangkutan: 50 (20) + 40 (5) + 6 (20) + 10 (10) + 10 (19) = 3260

Nilai  Baris dan nilai Kolom dari segi empat isi {(1,1), (1,2), (2,2), (3,2), (3,3) }   

Nilai baris 1  : R₁ = 0

Mencari nilai kolom 1 :

             R₁ + K₁ = C₁₁

0   + K₁ = 20, nilai kolom 1 :  K₁ = 20

Mencari  nilai kolom dan baris yang lain :

             R₁ + K₂ = C₁₂  ;  0   + K₂  = 5    ;  K₂ = 5

             R₂ + K₂ = C₂₂  ;  R₂  + 5   = 20  ;  R₂ = 15

             R₃ + K₂ = C₃₂  ;  R₃  + 5   = 10  ;  R₃ = 5

             R₃ + K₃ = C₃₃  ;  5   + K₃  = 19  ;  K₃ = 14

Indek perbaikan  segi empat kosong

Segi empat kosong	Cij - Ri  -  Kj	Indek Perbaikan
(1,3)	8   -   0  - 14	-  6
(2,1)	15 – 15  - 20	- 20
(2,3)	10  -  15  - 14	- 19
(3,1)	25 –   5  - 20	0

Tabel 2 (MODI)

	j	1		2		3
i	Ke	Gudang A = 20		Gudang  B = 5		Gudang C = 14		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I   =   0		20	90	5		8	90
2	Pabrik II  = 15	50	15	10	20		10	60
3	Pabrik III =   5		25	10	10	40	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

                Biaya pengangkutan : 90 (5) + 50 (15) + 10 (20) + 10 (10) + 40 (19) = 2260

Nilai  Baris dan nilai Kolom dari segi empat isi { (1,2), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3) }  

Nilai baris 1  : R₁ = 0

Mencari nilai kolom 2 :

             R₁ + K₂ = C₁₂

0   + K₂ = 5, nilai kolom 2 :  K₂ = 5

Mencari  nilai kolom dan baris yang lain :

             R₂ + K₂ = C₂₂  ;  R₂   + 5    = 20    ;  R₂ = 15

             R₂ + K₁ = C₂₁  ;  15  + K₁   = 15    ;  K₁ = 0

             R₃ + K₂ = C₃₂  ;  R₃  +  5    = 10    ;  R₃ = 5

             R₃ + K₃ = C₃₃  ;   5   + K₃   = 19    ;  K₃ = 14

Indek perbaikan  segi empat kosong

Segi empat kosong	Cij - Ri  -  Kj	Indek Perbaikan
(1,1)	20 – 0  - 0	20
(1,3)	8  -  0  - 14	-6
(2,3)	10  -  15  - 14	-19
(3,1)	25 –   5  - 0	20

Tabel 3 (MODI)

	J	1		2		3
i	Ke	Gudang A = 0		Gudang  B = 5		Gudang C = 14		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I   =   0		20	90	5		8	90
2	Pabrik II  = 15	50	15		20	10	10	60
3	Pabrik III =   5		25	20	10	30	19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

                Biaya Pengangkutan : 90 (5) + 50 (15) + 10 (10) + 20 (10) + 30 (19) = 2070

Nilai  Baris dan nilai Kolom dari segi empat isi { (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,3) }  

Nilai baris 1  : R₁ = 0

Mencari nilai kolom 2 :

             R₁ + K₂ = C₁₂

0   + K₂ = 5, nilai kolom 2 :  K₂ = 5

Mencari  nilai kolom dan baris yang lain :

             R₃ + K₂ = C₃₂  ;  R₃   + 5    = 10    ;  R₃ = 5

             R₃ + K₃ = C₃₃  ;    5  + K₃   = 19    ;  K₃ = 14

             R₂ + K₃ = C₂₃  ;  R₂  + 14   = 10    ;  R₂ = -4

             R₂ + K₁ = C₂₁  ;   -4   + K₁   = 15    ;  K₁ = 19

Indek perbaikan  segi empat kosong

Segi empat kosong	Cij - Ri  -  Kj	Indek Perbaikan
(1,1)	20 – 0  - 19	1
(1,3)	8 –   0  - 14	-6
(2,2)	20  - (-4)  - 5	19
(3,1)	19  -  5  - 19	-5

Tabel 4 (MODI)

	J	1		2		3
i	Ke	Gudang A = 19		Gudang  B = 5		Gudang C = 14		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I   =   0		20	60	5	30	8	90
2	Pabrik II  = -4	50	15		20	10	10	60
3	Pabrik III =   5		25	50	10		19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

                Biaya Pengangkutan :  60 (5) + 30 (8) + 50 (15) +10 (10) + 50 (10) = 1890

Nilai  Baris dan nilai Kolom dari segi empat isi { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,2) }  

Nilai baris 1  : R₁ = 0

Mencari nilai kolom 2 :

             R₁ + K₂ = C₁₂

0   + K₂ = 5, nilai kolom 2 :  K₂ = 5

Mencari  nilai kolom dan baris yang lain :

             R₁ + K₃ = C₁₃  ;   0    + K₃   = 8     ;  K₃ = 8

             R₂ + K₃ = C₂₃  ;   R₂  + 8     = 10    ;  R₂ = 2

             R₂ + K₁ = C₂₁  ;   2    + K₁   = 15    ;  K₁ = 13

             R₃ + K₂ = C₃₂ ;   R₂   + 5     = 10    ;  K₁ = 5

Indek perbaikan  segi empat kosong

Segi empat kosong	Cij - Ri  -  Kj	Indek Perbaikan
(1,1)	20  –  0   - 13	7
(2,2)	20   –  2  - 5	18
(3,1)	25  - 5  - 13	7
(3,3)	19  -  5  - 8	6

                Tidak ada indeks negatif, sehingga tabel sudah optimal

Tabel optimal

	J	1		2		3
i	Ke	Gudang A = 13		Gudang  B = 5		Gudang C = 8		Kapasitas Pabrik
	Dari
1	Pabrik I   =   0		20	60	5	30	8	90
2	Pabrik II  = 2	50	15		20	10	10	60
3	Pabrik III =   5		25	50	10		19	50
	Kebutuhan  Gudang	50		110		40		200

Alokasi distribusi Produk :

                Dari Pabrik I ke Gudang B : 60 unit

                Dari Pabrik I ke Gudang C : 30 unit

                Dari Pabrik II ke Gudang A : 50 unit

                Dari Pabrik II ke Gudang C : 10 unit

                Dari Pabrik III ke Gudang B : 50 unit

Biaya Pengangkutan :  60 (5) + 30 (8) + 50 (15) +10 (10) + 50 (10) = 1890